3.6.14

TEOREMA DEL BINOMIO - Ejercicios resueltos

TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio

El teorema del binomio es un teorema fundamental del álgebra que se utiliza para expandir expresiones de la forma:



donde n puede ser cualquier número.

El teorema del binomio se presenta de la siguiente manera:




pero cuando se comprime se convierte en:







Las ecuaciones anteriores son bastante complicadas, pero vas a entender lo que significa cada componente si nos fijamos en el apartado de combinaciones antes de mirar el teorema del binomio. El resto debería ser más claro en el momento en que haya terminado con esta entrada.

El teorema del binomio es importante porque a medida que n se hace más grande, las expresiones tienden a ser mucho más complicadas.

Por ejemplo:








Como se puede ver, lo anterior es relativamente complicado y necesitaríamos tomar un tiempo para ampliarlo a la forma final, por lo que surge la necesidad de alguna forma de hacer que la expansión   sea mucho más rápida de resolver y que sea también más fácil.

Los coeficientes de cada término en la expresión anterior son:  {1, 6, 15, 20, 15, 6, 1}

y estos se denominan coeficientes binomiales. Estos son también los números que corresponden a la posición 6 en el Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal 



El triángulo de Pascal se refiere a un triángulo de números con cada fila posterior correspondiente al siguiente número entero de cero en adelante. Estos números también resultan ser los coeficientes binomiales

La matemática detrás de triángulo de Pascal es un poco más avanzada, pero el propio triángulo es muy simple. A continuación se muestra el triángulo de Pascal para los primeros números de cero a ocho.

EJERCICIOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

EJERCICIOS RESUELTOS DE SUMA Y RESTA DE MATRICES

Ejemplo: una matriz con 3 filas y 5 columnas se puede añadir a otra matriz de 3 filas y 5 columnas.
Pero no se podría agregar a una matriz con 3 filas y 4 columnas (puesto que las columnas no coinciden en tamaño)

La suma de matrices es la operación de sumar dos matrices mediante la adición de las entradas correspondientes juntas.

EJERCICIOS RESUELTOS


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}

También podemos restar una matriz de otra, siempre que tengan las mismas dimensiones.

A - B se calcula restando elementos correspondientes de A y B, y tiene las mismas dimensiones que A y B. Por ejemplo:


\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{bmatrix}

SUMA Y RESTA DE MATRICES

En el siguiente vídeo se consignan más ejemplos de suma y resta con matrices de mayor tamaño ( matrices 3x3)


Matriz: Suma y Resta

Las matrices se pueden sumar o restar la una de la otra solamente si tienen el mismo tamaño, lo que significa que tienen que tener el mismo número de filas y columnas. Esto se debe a que al añadir o restar matrices, los operadores trabajan en las entradas correspondientes de las matrices, de ahí la necesidad del mismo tamaño.

Veamos la forma de la Matrix, como se muestra en estas dos matrices A y B de tamaño 2 x 2









EJERCICIO RESUELTO